Логические операции

Конъюнкция

Определение. Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны, называется конъюнкцией. Операция конъюнкция, или логическое умножение, обозначается знаком & или . Операция конъюнкция задается следующей таблицей истинности:

В русском языке этой связке соответствуют союзы «и», «а», «но» и другие речевые обороты. Высказывая некоторую конъюнкцию, мы тем самым делаем такое утверждение, которое выполняется для обоих событий, о которых идет речь в составляющих высказываниях. Например, утверждая: «Ивановы привезли на зиму уголь и закупили дрова на растопку», – мы выражаем в одном высказывании свое убеждение в том, что произошли оба эти события.

В математике вы учили таблицу умножения, чтобы знать, как выполняется операция умножения. В алгебре логики надо знать таблицу истинности для операции конъюнкция, чтобы правильно ее использовать.

При формировании таблиц истинности будем придерживаться следующих правил:

1. Значение «Истина» будем обозначать цифрой 1, значение «Ложь» – цифрой 0.

2. Каждый набор значений аргументов ({0 0}, {0 1}, {1 0}, {1 1}) можно рассматривать как двоичное число. Перечислять наборы значений аргументов в таблице будем в порядке возрастания двоичных чисел.

Дизъюнкция

Определение. Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, называется дизъюнкцией. Операция дизъюнкция, или логическое сложение, обозначается . \ Операция дизъюнкция задается следующей таблицей истинности:

В русском языке наиболее близка к дизъюнкции логическая связка «или». Хотя чаще она обозначает то, что истинным является только одно из двух высказываний, что соответствует разделительной дизъюнкции (см. ниже). Более точным по смыслу дизъюнкции будет употребление составного союза «и/или», вошедшего в практику деловых документов. Например:

Предоставляем кредиты на приобретение спецтехники и/или оборудования.

В высказываниях, содержащих связку «или», должно указываться на существование двух возможных событий, из которых хотя бы одно должно быть осуществлено. Например, сообщая, что Александр читает книгу или пьет чай, мы имеем в виду, что хотя бы что-то одно Александр делает. При этом Александр может одновременно читать книгу и пить чай. И в этом случае дизъюнкция будет истинна.

При формировании таблиц истинности будем придерживаться следующих правил:

1. Значение «Истина» будем обозначать цифрой 1, значение «Ложь» – цифрой 0.

2. Каждый набор значений аргументов ({0 0}, {0 1}, {1 0}, {1 1}) можно рассматривать как двоичное число. Перечислять наборы значений аргументов в таблице будем в порядке возрастания двоичных чисел.

Разделительная дизъюнкция

Определение. Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда ровно одно из двух высказываний истинно, называется разделительной (строгой) дизъюнкцией, исключающим ИЛИ, сложением по модулю 2. Разделительная дизъюнкция обозначается символом . Операция разделительная дизъюнкция задается следующей таблицей истинности:

В русском языке разделительной дизъюнкции соответствуют логические связки «либо» и иногда «или» (см. выше).

В отличие от обычной дизъюнкции (связка «или») в высказывании, являющемся разделительной дизъюнкцией, мы утверждаем, что произойдет только одно событие.

Например, высказывая утверждение: «Петя сидит на трибуне А либо на трибуне Б», – мы считаем, что Петя сидит либо только на трибуне А, либо только на трибуне Б.

Скорее всего, вы с такой операцией в математике не сталкивались. А вот в информатике, в частности при программировании компьютерных игр, эта операция используется очень часто. В языках программирования Pascal и Delphi она называется XOR. Если же с аргументами этой операции оперировать как с числами, то разделительная дизъюнкция эквивалентна сложению по модулю 2.

Импликация

Определение. Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) истинно, а второе (следствие) – ложно, называется импликацией. В логике импликация обозначается символом или . Операция импликация задается следующей таблицей истинности:

В грамматике импликация соответствует условным предложениям, чаще всего образованным из двух предложений связкой «если …, то …».

Импликацию мы используем тогда, когда хотим показать, что некоторое событие зависит от другого события. Например, пусть некоторый человек сказал: «Если завтра будет хорошая погода, то я пойду гулять». Ясно, что человек окажется лжецом лишь в том случае, если погода действительно окажется хорошей, а гулять он не пойдет. Если же погода будет плохой, то, независимо от того, пойдет он гулять или нет, во лжи его нельзя обвинить: обещание пойти гулять он давал лишь при условии, что погода будет хорошей.

Эквивалентность

Определение. Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным, когда оба исходных высказывания истинны или оба исходных высказывания ложны, называется эквивалентностью. Эквивалентность используется в тех случаях, когда необходимо выразить взаимную обусловленность. В логике эквивалентность обозначается символом или . Операция эквивалентности задается следующей таблицей истинности:

В русском языке для выражения эквивалентности используется связка «тогда и только тогда», а в математике – «необходимо и достаточно».

Отрицание

Рассмотренные выше операции были двуместными (бинарными), т.е. выполнялись над двумя операндами (высказываниями). В алгебре логики определена и широко применяется и одноместная (унарная) операция отрицание.

Определение. Логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному, называется отрицанием.

В русском языке для построения отрицания используется связка «неверно, что...». Хотя связка «неверно, что...» и не связывает двух каких-либо высказываний в одно, она трактуется логиками как логическая связка, поскольку поставленная перед произвольным высказыванием, образует из него новое.

Таблица истинности для отрицания имеет простой вид:

A	не A
0	1
1	0

Правило построения отрицания на естественном языке

При построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что...», либо отрицание строится к сказуемому, тогда чаще всего к соответствующему глаголу добавляется частица «не». Но построить отрицание к предложению, записанному на русском языке, не всегда просто.

Простое высказывание	Его отрицание
У меня дома есть компьютер.	«Неверно, что у меня дома есть компьютер» или, что в русском языке то же самое: «У меня дома нет компьютера».
Мастер не смог починить насос.	Мастер починил насос.
На автостоянке стоят красные «Жигули».	На автостоянке нет красных «Жигулей».