Основные понятия и аксиомы алгебры логики. Простые и сложные высказывания.

Понятие высказывания

Долгое время алгебра логики была известна достаточно узкому классу специалистов. Прошло почти 100 лет со времени создания алгебры логики Джорджем Булем, прежде чем в 1938 году выдающийся американский математик и инженер Клод Шеннон показал, что алгебра логики применима для описания самых разнообразных процессов, в том числе и для функционирования релейно-контактных и электронно-ламповых схем.

Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний, вызвано это тем, что высказывания являются одним из основных видов носителей информации. С помощью высказываний мы устанавливаем свойства, взаимосвязи между объектами.

Примерами высказываний на естественном языке являются предложения: «Сегодня светит солнце» или «На Красной площади зимой 2007–2008 гг. заливали каток». Каждое из этих высказываний характеризует свойства или состояние конкретного объекта. Каждое высказывание несет значение «истина» или «ложь».

Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 + 225 – простое», – принадлежащее Ферма, долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Леонард Эйлер не доказал, что оно ложно. В целом обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания: «Сумма углов треугольника равна 180°» – устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского – ложным.

Определение высказывания

Определение. Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности.

Это определение не является математически точным.

Более того, только на первый взгляд оно кажется удовлетворительным. Это определение породило много логических парадоксов.

Аристотель проблему определения высказывания заменяет проблемой определения истинности или ложности предложения. Если рассматривать в качестве высказываний любые утвердительные предложения, то это быстро приводит к парадоксам и противоречиям. Например, предложению: «Это предложение является ложным» – невозможно приписать никакого значения истинности без того, чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит его собственному утверждению. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что предложение на самом деле истинно. Как видно, этому предложению осмысленно нельзя приписать какое-либо значение истинности, следовательно, оно не является высказыванием.

Причина этого парадокса лежит в структуре построения указанного предложения : оно ссылается на свое собственное значение. С помощью определенных ограничений на допустимые формы высказываний могут быть устранены такие ссылки на себя, и, следовательно, устранены возникающие отсюда парадоксы.

Интересную задачу, содержащую парадокс, придумал знаменитый математик «Известно, что в некотором городе брадобрей бреет всех тех и только тех жителей города, которые не бреются сами. Кто бреет брадобрея?»

Определение. Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Мы можем договориться, что абсурдное по смыслу высказывание: «Крокодилы летают» – является истинным, и с этим значением высказывания будем работать.

Введение таких ограничений дает возможность изучать высказывания алгебраическими методами, т.е. позволяет ввести операции над элементарными высказываниями и с их помощью строить и изучать составные высказывания.

Логические связки

Употребляемые в русском языке связки «и», «или», «не», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда …» позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более «сложные» высказывания.

Определение. Сложное высказывание – это высказывание, которое состоит из двух или более простых высказываний, объединенных логическими связками.

Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности или ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями. Для обозначения истинности, как правило, используются символы «И» и «1», а для обозначения ложности – символы «Л» и «0».

В алгебре логики логическая операция полностью задается таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает сложное высказывание при всех возможных значениях простых высказываний, входящих в сложное высказывание.

Логические операции и соответствующие им логические связки имеют специальные названия и обозначаются следующим образом:

Логическая связка	Названия логической операции	Обозначения
«не»	Отрицание, инверсия
«и», «а», «но», «хотя»	Конъюнкция, логическое умножение
«или»	Дизъюнкция, логическое сложение
«либо ... либо»	Разделительная дизъюнкция, исключающее ИЛИ, сложение по модулю 2
«если ..., то»	Импликация, следование
«тогда и только тогда, когда»	Эквивалентность, эквиваленция, равнозначность